Question

若(1+x)2n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n，令f（n）=a₀+a₂+a₄+…+a_2n则f（1）+f（2）+…+f（n）=（　　）

• A．

  1

  3

  (2n-1)
• B．

  1

  6

  (2n-1)
• C．

  4

  3

  (4n-1)
• D．

  2

  3

  (4n-1)

Answer 1

分析：令条件中的x=1得到一个等式，再令条件中的x=-1又得到一个等式，两式相加可得2（a₀+a₂+a₄+…+a_2n ）=2²ⁿ，从而得到f（n）=

1

2

×2²ⁿ，则f（1）+f（2）+…+f（n）=

1

2

（ 2²+2⁴+2⁶+…+2²ⁿ ），利用等比数列的求和公式求得结果．

解答：解：令条件中的x=1可得，2²ⁿ=a₀+a₁+a₂+a₃+…+a_2n ，令条件中的x=-1可得 0=a₀-a₁+a₂-a₃+…+a_2n-1-a_2n．
想加可得2（a₀+a₂+a₄+…+a_2n ）=2²ⁿ，
f（n）=a₀+a₂+a₄+…+a_2n=

1

2

×2²ⁿ，则f（1）+f（2）+…+f（n）=

1

2

（ 2²+2⁴+2⁶+…+2²ⁿ ）=

1

2

×

4(1-4n)

1-4

=

2

3

(4n-1)，
故选D．

点评：本题主要考查二项式定理的应用，等比数列的求和公式，注意根据题意，分析所给代数式的特点，通过给二项式的x赋值，求展开式的系数和，可以简便的求出答案，属于中档题．