Question

已知函数f（x）=log_a

1+x

1-x

，（a＞0且a≠1）
（Ⅰ）求函数f（x）的定义域；
（Ⅱ）判断f（x）的奇偶性，并予以证明；
（Ⅲ）当a＞1时，求使f（x）＞0的x的取值范围．

Answer 1

考点：对数函数的图像与性质,函数奇偶性的判断

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据对数函数的定义，得到不等式，解得即可，
（Ⅱ）根据函数的奇偶性的定义即可证明；
（Ⅲ），因为a＞0，所以函数为增函数，故f（x）＞0，转化为

1+x

1-x

＞1，解得即可

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）=log_a

1+x

1-x

，
∴

1+x

1-x

＞0，即（x+1）（x-1）＜0，解得-1＜x＜1，
∴函数f（x）的定义域为（-1，1），
（Ⅱ）∵f（-x）=log_a

1-x

1+x

=-log_a

1+x

1-x

=-f（x），
∴函数为奇函数，
（Ⅲ）∵a＞1时，f（x）＞0，
∴log_a

1+x

1-x

＞log_a1，
∴

1+x

1-x

＞1，
解得0＜x＜1，
故不等式的解集为（0，1）

点评：本题考查对数函数的定义和性质，函数的奇偶性，以及不等式的解法，属于基础题