Question

5．设函数$f（x）=\vec a•\vec b$．其中向量$\vec a=（m，cosx），\vec b=（1+sinx，1），x∈R，且f（\frac{π}{2}）=2$．
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调区间．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用数量积的坐标运算结合f（$\frac{π}{2}$）=2求得m值；
（Ⅱ）把m值代入函数解析式，然后直接利用复合函数的单调性求得函数的单调区间．

解答 解：（Ⅰ）由已知可得$f（x）=\vec a•\vec b$=m（1+sinx）+cosx，
由f（$\frac{π}{2}$）=m（1+sin$\frac{π}{2}$）+cos$\frac{π}{2}$=2m=2，得m=1；
（Ⅱ）f（x）=1+sinx+cosx=$\sqrt{2}sin（x+\frac{π}{4}）+1$．
由$-\frac{π}{2}+2kπ≤x+\frac{π}{4}≤\frac{π}{2}+2kπ$，得$-\frac{3π}{4}+2kπ≤x≤\frac{π}{4}+2kπ，k∈Z$．
由$\frac{π}{2}+2kπ≤x+\frac{π}{4}≤\frac{3π}{2}+2kπ$，得$\frac{π}{4}+2kπ≤x≤\frac{5π}{4}+2kπ，k∈Z$．
∴函数f（x）的单调增区间为[$-\frac{3π}{4}+2kπ，\frac{π}{4}+2kπ$]，k∈Z；
单调减区间[$\frac{π}{4}+2kπ，\frac{5π}{4}+2kπ$]，k∈Z．

点评 本题考查平面向量的数量积运算，考查了y=Asin（ωx+φ）型函数的图象和性质，是中档题．