Question

15．设F是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的右焦点，双曲线两渐近线分别为l₁，l₂，过点F作直线1₁的垂线，分别交l₁l₂于A，B两点，若A，B两点均在x轴的上方且|0A|=3，|OB|=5，则双曲线的离心率为$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

Answer 1

分析 设F（c，0），求出双曲线的渐近线方程，联立FA的方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-c），求得A，B的坐标，运用两点的距离公式，可得a，c，运用离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：设F（c，0），双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为l₁：y=$\frac{b}{a}$x，
l₂：y=-$\frac{b}{a}$x，
由题意可得FA的方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-c），
联立直线l₁，可得A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
联立直线l₂，可得B（$\frac{c{a}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，-$\frac{abc}{{a}^{2}-{b}^{2}}$），
|OA|=$\sqrt{\frac{{a}^{4}}{{c}^{2}}+\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{c}^{2}}}$=a$\sqrt{\frac{{a}^{2}+{b}^{2}}{{c}^{2}}}$=a=3，
|OB|=$\sqrt{\frac{{c}^{2}{a}^{4}+{a}^{2}{b}^{2}{c}^{2}}{（{a}^{2}-{b}^{2}）^{2}}}$=$\frac{3{c}^{2}}{|9-{b}^{2}|}$=5，
又9+b²=c²，解得c=3$\sqrt{5}$或$\frac{3\sqrt{5}}{2}$，即有e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{2}$．
故答案为：$\sqrt{5}$或$\frac{\sqrt{5}}{2}$．

点评 本题考查双曲线的离心率的求法，注意运用渐近线方程和垂线方程联立，求交点，考查两点的距离公式，考查运算能力，属于中档题．