Question

12．衡州市临枣中学高二某小组随机调查芙蓉社区160个人，以研究这一社区居民在20：00-22：00时间段的休闲方式与性别的关系，得到下面的数据表：

休闲方式 性别	看电视	看书	合计
男	20	100	120
女	20	20	40
合计	40	120	160

下面临界值表：

P（K2≥k0）	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
k0	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}，n=a+b+c+d$
（Ⅰ）将此样本的频率估计为总体的概率，随机调查3名在该社区的男性，设调查的3人在这一时间段以看书为休闲方式的人数为随机变量X，求X的分别列和期望；
（Ⅱ）根据以上数据，能否有99%的把握认为“在20：00-22：00时间段的休闲方式与性别有关系”？

Answer 1

分析 （I）依题意，随机变量X的取值为0，1，2，3，且每个男生在这一时间段以看书为休闲方式的概率为$p=\frac{5}{6}$，利用二项分布列的性质及其数学期望计算公式即可得出．
（II）利用“独立性检验”计算公式即可得出．

解答 解：（I）依题意，随机变量X的取值为0，1，2，3，且每个男生在这一时间段以看书为休闲方式的概率为$p=\frac{5}{6}$，$P（{X=0}）=C_3^0{（{\frac{1}{6}}）^3}=\frac{1}{216}$，$P（{X=1}）=C_3^1•{（{\frac{1}{6}}）^2}•（{\frac{5}{6}}）=\frac{5}{72}$，
$P（{X=2}）=C_3^2•（{\frac{1}{6}}）•{（{\frac{5}{6}}）^2}=\frac{25}{72}$，$P（{X=3}）=C_3^3•{（{\frac{5}{6}}）^3}=\frac{125}{216}$．
所以X的分布列为：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{216}$	$\frac{5}{72}$	$\frac{25}{72}$	$\frac{125}{216}$

所以$EX=0×\frac{1}{216}+1×\frac{5}{72}+2×\frac{25}{72}+3×\frac{125}{216}=\frac{5}{2}$．
（Ⅱ）根据样本提供的2×2列联表可得${K^2}=\frac{{n{{（{ad-bc}）}^2}}}{{（{a+b}）（{c+d}）（{a+c}）（{b+d}）}}=\frac{{160×{{（{20×20-20×100}）}^2}}}{120×40×40×120}=\frac{160}{9}≈17.778＞6.635$
所以我们有99%的把握认为“在20：00-22：00时间段性别与休闲方式有关”．

点评 本题考查了二项分布列的性质及其数学期望、“独立性检验”计算公式及其原理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．