Question

18．解不等式：
（1）$\frac{x+3}{1-2x}$≥0
（2）$\frac{5}{{x_{\;}^2-10x+21}}$＞1．

Answer 1

分析 （1）将分式不等式等价转化后，由一元二次不等式的解法求出解集；
（2）将分式不等式右边化零、并因式分解后，进行等价转化，由穿根法求出不等式的解集．

解答 解：（1）由$\frac{x+3}{1-2x}≥0$得$\left\{\begin{array}{l}{（x+3）（1-2x）≥0}\\{1-2x≠0}\end{array}\right.$，
则$\left\{\begin{array}{l}{（x+3）（2x-1）≤0}\\{1-2x≠0}\end{array}\right.$，解得-3≤x＜$\frac{1}{2}$，
所以不等式的解集是$[-3，\frac{1}{2}）$；
（2）由$\frac{5}{{x}^{2}-10x+21}＞1$ 得$\frac{5}{{x}^{2}-10x+21}-1＞0$，
化简得$\frac{{x}^{2}-10x+16}{{x}^{2}-10x+21}＜0$，即$\frac{（x-2）（x-8）}{（x-3）（x-7）}＜0$，
等价于（x-2）（x-8）（x-3）（x-7）＜0，如图所示：

由图可得，不等式的解集是（2，3）∪（7，8）．

点评 本题考查分式不等式的化简、及等价转化，一元二次不等式的解法，以及穿根法的应用，考查转化思想，数形结合思想，化简、变形能力．