题目内容
8．在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450．（1）求a1+a9、a2+a8，并比较二者的大小；
（2）根据（1）的结论，写出一个可能成立的等式，并证明之．
分析 （1）由题意和等差数列的性质易得a1+a9=a2+a8=2a5=180；
（2）根据（1）的结论可得：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq，其中mnpq为正整数，由等差数列的通项公式可证．
解答 解：（1）∵在等差数列{an}中a3+a4+a5+a6+a7=450，
∴a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450，解得a5=90，
∴a1+a9=a2+a8=2a5=180；
（2）根据（1）的结论可得：若m+n=p+q，则am+an=ap+aq，其中m、n、p、q为正整数，
证明：设在等差数列{an}的公差为d，
则am+an=a1+（m-1）d+a1+（n-1）d=2a1+（m+n-2）d，
ap+aq=a1+（p-1）d+a1+（q-1）d=2a1+（p+q-2）d，
由m+n=p+q可得2a1+（m+n-2）d=2a1+（p+q-2）d，即am+an=ap+aq．
点评 本题考查等差数列的性质和通项公式，涉及等差数列性质的证明，属中档题．
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