Question

设△ABC的三个顶点都在半径为3的球上，且AB=

3

，BC=1，AC=2，O为球心，则三棱锥O-ABC的体积为

 

．
．

Answer 1

考点：球的体积和表面积

专题：空间位置关系与距离

分析：由题意，△ABC为直角三角形，外接圆为平面ABC与球O相交被截得的小圆，该小圆的直径等于AC长，而三棱锥O-ABC的高就是AC中点与球心的连线段，求出三棱锥O-ABC的高OD，用锥体体积公式得出三棱锥O-ABC的体积．

解答： 解：因为△ABC的三个顶点都在半径为3的球上，且AB=

3

，BC=1，AC=2，∴AB²+BC²=AC²，
∴△ABC为直角三角形，
∴A，B，C在半径为1的球小圆上
∴平面ABC截球O得小圆，该小圆半径为r=AD=1，
设AC中点（即小圆圆心）为D，连接OD、OA、OB、OC
∵OD⊥平面ABC，即OD为三棱锥的高
∴Rt△OAD中，OD=

AO2-AD2

=

32-12

=2

2

，
因此，三棱锥O-ABC的体积为V=

1

3

×

1

2

×AB×BC×OD=

1

3

×

1

2

×

3

×1×2

2

=

6

3

；
故答案为：

6

3

点评：本题给出以球心为顶点直角三角形的三个顶点都在球面上的三棱锥，求该棱锥的体积，着重考查了球的截面圆性质和锥体体积公式等知识，属于基础题．