Question

函数f（x）=

1

3

x3+mx-1，g（x）=mx²-

2

3

（1）判断f（x）的单调性；
（2）若m＞0且函数f（x）≥g（x）在x∈（0，

1

2

]上有解，求m的范围．

Answer 1

分析：（1）由函数f（x）=

1

3

x3+mx-1，知f′（x）=x²+m．由此能判断f（x）的单调性．
（2）令F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

x3-mx2+mx-

1

3

≥0在（0，

1

2

]上有解，则F（x）_max≥0．由F′（x）=x²+m（1-2x）≥0，知F（x）在（0，

1

2

]上单调递增，F(x)max=F(

1

2

) ≥0，由此能求出m的范围．

解答：解：（1）∵函数f（x）=

1

3

x3+mx-1，
∴f′（x）=x²+m．
∵m≥0时，f′（x）=x²+m≥0，
∴f（x）在（-∞，+∞）上单调递增；
m＜0时，由f′（x）=x²+m＞0，得，x＜-

-m

，或x＞

-m

．
由f′（x）=x²+m＜0，得，-

-m

＜x＜

-m

．
∴当m＜0时，f（x）在（-∞，-

-m

），（

-m

，+∞）是单调递增；在（-

-m

，

-m

）是单调递减．
（2）∵数f（x）=

1

3

x3+mx-1，g（x）=mx²-

2

3

，
令F（x）=f（x）-g（x）=

1

3

x3-mx2+mx-

1

3

≥0在（0，

1

2

]上有解，
∴F（x）_max≥0．
∵F′（x）=x²+m（1-2x）≥0，
∴F（x）在（0，

1

2

]上单调递增，
∴F(x)max=F(

1

2

) ≥0，
∴F（x）_max=F（

1

2

）=

1

3

×

1

8

-

1

4

m+

1

2

m-

1

3

=

1

4

m-

7

24

≥0，
∴m≥

7

6

．
故m的范围是[

7

6

，+∞）．

点评：本题考查利用函数导数求函数最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．是高考的重点．解题时要认真审题，仔细解答．