Question

 [2012·辽宁卷] 如图1－5，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝，AA′＝1，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．

(1)证明：MN∥平面A′ACC′；

(2)求三棱锥A′－MNC的体积．

(锥体体积公式V＝Sh，其中S为底面面积，h为高)

图1－5

Answer 1

解：(1)(证法一)

连结AB′，AC′，由已知∠BAC＝90°，

AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′为直三棱柱，

所以M为AB′中点，

又因为N为B′C′的中点，所以MN∥AC′.

又MN⊄平面A′ACC′，

AC′⊂平面A′ACC′，

因此MN∥平面A′ACC′.

(证法二)

取A′B′中点P，连结MP，NP，

M、N分别为AB′与B′C′的中点，

所以MP∥AA′，PN∥A′C′，

所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′，

又MP∩NP＝P，

因此平面MPN∥平面A′ACC′，而MN⊂平面MPN.

因此MN∥平面A′ACC′.

(2)(解法一)

连结BN，由题意A′N⊥B′C′，

平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，

所以A′N⊥平面NBC.

又A′N＝B′C′＝1，故

V_A′－MNC＝V_N－A′MC＝V_N－A′BC＝V_A′－NBC＝.

(解法二)

V_A′－MNC＝V_A′－NBC－V_M－NBC＝V_A′－NBC＝.