Question

16．已知z∈C，$\overline{z}$表示z的共轭复数，若z•$\overline{z}$+i•z=$\frac{10}{3+i}$，求复数z．

Answer 1

分析 设出复数的代数形式，利用两个复数的乘法法则和两个复数相等的条件建立方程组，用待定系数法求复数．

解答 解：设z=a+bi（a，b∈R），则$\overline{z}$=a-bi，
z•$\overline{z}$+i•z=（a+bi）（a-bi）+i（a+bi）
=a²+b²+ai-b=（a²+b²-b）+ai．
又∵z•$\overline{z}$+i•z=$\frac{10}{3+i}$，
∴（a²+b²-b）+ai=$\frac{10}{3+i}$=3-i．
根据复数相等的充要条件得$\left\{\begin{array}{l}{{a}^{2}+{b}^{2}-b=3}\\{a=-1}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=-1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{b=2}\end{array}\right.$
∴z=-1-i或z=-1+2i．

点评 本题考查两个复数代数形式的乘除法，共轭复数的概念，两个复数相等的条件．