Question

已知向量

a

=（1，1，0），

b

=（-1，0，2）．
（Ⅰ）若向量k

a

+

b

与向量2

a

-

b

互相平行，求实数k的值；
（Ⅱ） 求由向量

a

和向量

b

所确定的平面的单位法向量．

Answer 1

考点：平面的法向量,向量的数量积判断向量的共线与垂直

专题：空间向量及应用

分析：（1）利用向量的线性运算、向量共线定理即可得出；
（2）利用相互垂直与向量的数量积之间的关系即可得出．

解答： 解：（1）向量k

a

+

b

=k（1，1，0）+（-1，0，2）=（k-1，k，2）．
向量2

a

-

b

=2（1，1，0）-（-1，0，2）=（3，2，-2）．
∵（k

a

+

b

）∥（2

a

-

b

），
∴

k-1

3

=

k

2

=

2

-2

，
解得k=-2．
（2）设平面的法向量

m

=（x，y，z），则

a

•

m

=

b

•

m

=0，
∴

x+y=0 -x+2y=0

，令z=1，解得x=2，y=-2，
即所求平面的一个法向量为（2，-2，1），
故单位法向量为(

2

3

，-

2

3

，

1

3

)或(-

2

3

，

2

3

，-

1

3

)．

点评：本题考查了向量的线性运算、向量共线定理、相互垂直与向量的数量积之间的关系、线面垂直的性质，属于基础题．