Question

17．已知曲线C：y=2x³-3x²-2x+1，点P（$\frac{1}{2}$，0），
（1）求过点P的切线l的方程；
（2）求切线l与曲线C所围成的图形的面积．

Answer 1

分析 （1）设切点为（m，n），则n=2m³-3m²-2m+1，求得函数的导数，可得切线的斜率，运用点斜式方程，可得切线的方程，代入P的坐标，解方程可得m=0，求得切点和切线的斜率，即可得到所求切线的方程；
（2）求出切线与曲线的交点，由定积分可得围成图形的面积为S=${∫}_{0}^{\frac{3}{2}}$（-2x³+3x²）dx，运用积分公式计算即可得到所求值．

解答 解：（1）设切点为（m，n），则n=2m³-3m²-2m+1，
y=2x³-3x²-2x+1的导数为y′=6x²-6x-2，
可得切线的斜率为k=6m²-6m-2，
即有切线的方程为y-（2m³-3m²-2m+1）=（6m²-6m-2）（x-m），
将点P（$\frac{1}{2}$，0），代入可得-（2m³-3m²-2m+1）=（6m²-6m-2）（$\frac{1}{2}$-m），
化为m（4m²-6m+3）=0，可得m=0或4m²-6m+3=0，
由于判别式为36-4×4×3＜0，则方程4m²-6m+3=0无实数解．
即有切线l的方程为y=-2x+1；
（2）将切线y=1-2x代入y=2x³-3x²-2x+1，
解得x=$\frac{3}{2}$，y=-2，即交点为B（$\frac{3}{2}$，-2），
又切点为A（0，1），
可得切线l与曲线C所围成的图形的面积是
S=${∫}_{0}^{\frac{3}{2}}$（1-2x-2x³+3x²+2x-1）dx
=${∫}_{0}^{\frac{3}{2}}$（-2x³+3x²）dx=（x³-$\frac{1}{2}$x⁴）|${\;}_{0}^{\frac{3}{2}}$=$\frac{27}{8}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{81}{16}$=$\frac{27}{32}$．

点评 本题考查导数的运用：求切线的方程，考查切线与曲线围成图象的面积的求法，注意运用定积分，考查化简整理的运算能力，属于中档题．