Question

18．数列{a_n}中，${a_1}=\frac{1}{2}$，${a_{n+1}}=\frac{{n{a_n}}}{{（n+1）（n{a_n}+2）}}（n∈{N^*}）$，则数列{a_n}的通项公式a_n=$\frac{1}{{n（3•{2^{n-1}}-1）}}$．

Answer 1

分析 由题意可知；（n+1）a_n+1=$\frac{n}{n{a}_{n}+2}$，设na_n=b_n，b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n}+2}$，构造等比数列，$\frac{1}{{b}_{n+1}}$+1=$\frac{2}{{b}_{n}}$+2=2（$\frac{1}{{b}_{n}}$+1），$\frac{1}{{b}_{1}}$+1=$\frac{1}{1×{a}_{1}}$+1=3，数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$+1}是以3为首项，以2为公比的等比数列，由等比数列通项公式求得na_n=b_n=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}-1}$，即可求得数列{a_n}的通项公式a_n．

解答 解：由题意可知：（n+1）a_n+1=$\frac{na_n}{n{a}_{n}+2}$，
设na_n=b_n，
∴b_n+1=$\frac{{b}_{n}}{{b}_{n}+2}$，
∴$\frac{1}{{b}_{n+1}}$=$\frac{2}{{b}_{n}}$+1，
，∴$\frac{1}{{b}_{n+1}}$+1=$\frac{2}{{b}_{n}}$+2=2（$\frac{1}{{b}_{n}}$+1），
$\frac{1}{{b}_{1}}$+1=$\frac{1}{1×{a}_{1}}$+1=3
∴数列{$\frac{1}{{b}_{n}}$+1}是以3为首项，以2为公比的等比数列，
$\frac{1}{{b}_{n}}$+1=3•2^n-1，
∴$\frac{1}{{b}_{n}}$=3•2^n-1-1，
∴na_n=b_n=$\frac{1}{3•{2}^{n-1}-1}$，
∴a_n=$\frac{1}{{n（3•{2^{n-1}}-1）}}$，
故答案为：$\frac{1}{{n（3•{2^{n-1}}-1）}}$．

点评 本题考查数列的递推公式，考查构造等比数列的方法，等比数列通项公式，考查计算能力，属于中档题．