Question

过点(1，0)的直线与中心在原点，焦点在x轴上且离心率为的椭圆C相交于P、Q两点，直线y=过线段PQ的中点，同时椭圆C上存在一点与右焦点关于直线l对称．

（1）求直线l的方程；

（2）求椭圆C的方程．

 

Answer 1

答案：
解析：

（1）设椭圆方程为(a>b>0)            ① 由题设知，直线l不平行于y轴，否则PQ中点在x轴上与直线y=过PQ中点矛盾． 故可设直线l方程为y=k(x-1)                          ② ②代入①消y整理得：(k2a2+b2)x2-2k2a2x+a2k2-a2b2=0      ③ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则x1+x2= ∵ PQ的中点为在直线y=上， ∴ ，即． 又y1+y2=k(x1+x2)-2k代入上式得：， ∴ ． ∵ e=，∴ ， 故直线l的方程为y=-x+1． （2）由（1）知，a2=2b2，方程③即为3x2-4x+2-2b2=0． 故D=16-24(1-b2)=8(3b2-1)>0，得b>． 椭圆C的方程即为：x2+2y2=2b2，           ④    其右焦点为F(b，0) 设点F关于直线l的对称点为F/(x0，y0)，则应有 得x0=1，y0=1-b，即F/(1，1-b) 又点在F/的椭圆上．代入④得：1+2(1-b)2=2b2．解得b= ∴ b2=，a2=．于是所求椭圆C的方程为：．