Question

设f（x）在定义域A上是单调递减函数，又F（x）=a^f（x）（a＞0），当f（x）＞0时，F（x）＞1．
求证：（1）f（x）＜0时，F（x）＜1； 
 （2）F（x）在定义域A上是减函数．

Answer 1

证明：（1）∵f（x）＞0时，F（x）=a^f（x）＞1，
∴a＞1
则f（x）＜0时，-f（x）＞0…（2分）
∴a^-f（x）＞1
∴

1

af(x)

＞1
∴0＜a^f（x）＜1
∴F（x）＜1…（4分）
（2）设x₁＜x₂，x₁．x₂∈A…（5分）
∵f（x）在A上为减函数，
∴f（x₁）＞f（x₂）
即f（x₂）-f（x₁）＜0，
而F（x₂）-F（x₁）=a^f（x2）-a^f（x1）=a^f（x1）[a^{f（x2）-f（x1）}-1]…（8分）
∵a＞0，
∴a^f（x1）＞0，且当f（x₂）-f（x₁）＜0  
而f（x）＜0时，F（x）＜1
∴a^{f（x2）-f（x1）}＜1
∴F（x₂）-F（x₁）＜0∴F（x₂）＜F（x₁）
∴F（x）在定义域A上是减函数…（13分）