Question

3．如图，椭圆的中心在原点，其左焦点F₁与抛物线y²=-4x的焦点重合，过点F₁的直线l与椭圆交于A，B两点，与抛物线交于C，D两点，当直线l与x轴垂直时，$\frac{|CD|}{|AB|}$=2$\sqrt{2}$．
（1）求椭圆的方程；
（2）设F₂是椭圆的右焦点，求$\overrightarrow{{F_2}A}$•$\overrightarrow{{F_2}B}$的最大值和最小值．

Answer 1

分析 （1）由抛物线方程求得焦点坐标和点C和点D坐标，由题意可知$\frac{丨{F}_{1}C丨}{丨{F}_{1}A丨}$=$\frac{|CD|}{|AB|}$=2$\sqrt{2}$，求得丨F₁A丨=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，求得A点坐标，代入椭圆方程，根据椭圆的性质即可求得a和b的值，求得椭圆的方程；
（2）当AB垂直于x轴，求得A和B点坐标，求得向量$\overrightarrow{{F_2}A}$和$\overrightarrow{{F_2}B}$，由$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$，当AB与x轴不垂直，设直线AB的方程，代入椭圆方程，由韦达定理可知：x₁+x₂，x₁•x₂，由$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=（x₁-1，y₁），$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=（x₂-1，y₂），根据向量数量积的坐标表示，$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=$\frac{7}{2}$-$\frac{9}{2（1+2{k}^{2}）}$，由k²≥0，即可求得$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}A}$∈[-1，$\frac{7}{2}$]．

解答 解：（1）由抛物线方程，得焦点F₁（-1，0）．
设椭圆的方程：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}=1$（a＞b＞0），
解方程组$\left\{\begin{array}{l}{{y}^{2}=-4x}\\{x=-1}\end{array}\right.$，求得C（-1，2），D（1，-2），
由于抛物线、椭圆都关于x轴对称，
∴$\frac{丨{F}_{1}C丨}{丨{F}_{1}A丨}$=$\frac{|CD|}{|AB|}$=2$\sqrt{2}$，丨F₁A丨=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴A（1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），
∴$\frac{1}{{a}^{2}}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1$，
又a²-b²=c²=1，
因此，$\frac{1}{{b}^{2}+1}+\frac{1}{2{b}^{2}}=1$，解得：b²=1，a²=2，
椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；…5分．
（Ⅱ） 由F₁（-1，0），F₂（1，0），
①AB垂直于x轴，则A（-1，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），B（-1，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$）
∴$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=（-2，$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=（-2，-$\frac{\sqrt{2}}{2}$），$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=4-$\frac{1}{2}$=$\frac{7}{2}$
②若AB与x轴不垂直，设直线AB的斜率为k，
则直线AB的方程为y=k（x+1），
 由$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x+1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，整理得：（1+2k²）x²+4k²x+2（k²-1）=0，
△=8k²+8＞0，
∴方程有两个不等的实数根．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），x₁+x₂=-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，x₁•x₂=$\frac{2（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=（x₁-1，y₁），$\overrightarrow{{F}_{2}B}$=（x₂-1，y₂），
$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}A}$=（x₁-1）（x₂-1）+y₁•y₂=（x₁-1）（x₂-1）+k²（x₁+1）（x₂+1），
=（1+k²）x₁•x₂+（k²-1）（x₁+x₂）+1+k²，
=（1+k²）•$\frac{2（{k}^{2}-1）}{1+2{k}^{2}}$+（k²-1）•（-$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$）+1+k²，
=$\frac{7{k}^{2}-1}{1+2{k}^{2}}$=$\frac{7}{2}$-$\frac{9}{2（1+2{k}^{2}）}$，
由k²≥0，1+2k²≥1，
∴0≤$\frac{1}{1+2{k}^{2}}$≤1，
∴$\overrightarrow{{F}_{2}A}$•$\overrightarrow{{F}_{2}A}$∈[-1，$\frac{7}{2}$]，
∴当直线l垂于x轴时，$\overrightarrow{{F_2}A}$•$\overrightarrow{{F_2}B}$取得最大值$\frac{7}{2}$；当直线l与x轴重合时，$\overrightarrow{{F_2}A}•\overrightarrow{{F_2}B}$取得最小值-1．…12分

点评 本题考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，向量数量积的坐标运算，考查计算能力，属于中档题．