Question

5．已知{a_n}是等差数列，其前n项和为S_n，{b_n}为公比大于零的等比数列，若b₁=a₁=1，b₂=5-a₂，b₃=S₃-a₃．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）定义E（a_n）=$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_n}}}{n}$是数列{a_n}的前n项的数学期望，若E（b_n）≥t-$\frac{1}{{E（{a_n}）}}$对任意的n∈N⁺恒成立，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简可得（4-d）²=2+d，从而解得d=2或d=7，再讨论求得，从而求通项公式；
（2）由E（a_n）=$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_n}}}{n}$求得E（b_n）=$\frac{{2}^{n}-1}{n}$，E（a_n）=n，从而化恒成立问题为t≤$\frac{{2}^{n}}{n}$对任意的n∈N⁺恒成立，从而化为最值问题求解．

解答 解：（1）由题意，设a_n=1+（n-1）d，
∵b₁=a₁=1，b₂=5-a₂，b₃=S₃-a₃，
∴（5-a₂）²=1（S₃-a₃），
即（4-d）²=2+d，
解得，d=2或d=7；
若d=7，则b₂=5-a₂=-3，
故不成立；
故d=2；
故a_n=2n-1，b_n=2^n-1；
（2）∵E（a_n）=$\frac{{{a_1}+{a_2}+…+{a_n}}}{n}$，
∴E（b_n）=$\frac{1+2+4+…+{2}^{n-1}}{n}$=$\frac{{2}^{n}-1}{n}$，
E（a_n）=$\frac{1+3+5+…+2n-1}{n}$=n，
∵E（b_n）≥t-$\frac{1}{{E（{a_n}）}}$对任意的n∈N⁺恒成立，
∴t≤$\frac{{2}^{n}}{n}$对任意的n∈N⁺恒成立，
令c_n=$\frac{{2}^{n}}{n}$，则c_n+1-c_n=$\frac{（n-1）{2}^{n}}{n（n+1）}$≥0，
故（c_n）_min=c₁=2，
故t≤2．

点评 本题考查了等比数列与等差数列的性质的判断与应用，同时考查了恒成立问题与最值问题的应用，属于中档题．