Question

6．若数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，S_n+a_n=2n，求a_n以及S_n．

Answer 1

分析 推导出2a_n-a_n-1=2，n≥2，从而数列{a_n-2}以-1为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列，由此能求出结果．

解答 （本小题满分10分）
解：∵S_n+a_n=2n，①
∴S_n-1+a_n-1=2（n-1），n≥2②
由①-②得，2a_n-a_n-1=2，n≥2，…（3分）
∴2（a_n-2）=a_n-1-2，n≥2，
∵a₁-2=-1，
∴数列{a_n-2}以-1为首项，$\frac{1}{2}$为公比的等比数列．…（6分）
∴${a}_{n}-2=-（\frac{1}{2}）^{n-1}$，∴${a}_{n}=2-（\frac{1}{2}）^{n-1}$，…（8分）
∵S_n+a_n=2n，∴${S}_{n}=2n-{a}_{n}=2n-2+（\frac{1}{2}）^{n-1}$…（10分）．

点评 本题考查数列的通项公式及前n项和公式的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意等比数列的性质的合理运用．