Question

5．设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的两条渐近线与直线x=$\frac{{a}^{2}}{c}$分别交于A，B两点，F为该双曲线的右焦点，若90°＜∠AFB＜120°，则该双曲线离心率的取值范围是（　　）

• A． （1，$\sqrt{2}$）
• B． （$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，+∞）
• C． （1，$\frac{2\sqrt{3}}{3}$）
• D． （$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{2}$）

Answer 1

分析 确定双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的两条渐近线方程，求得A，B的坐标，利用90°＜∠AFB＜120°，可得1＜k_FB＜$\sqrt{3}$，
运用两点的斜率公式和a，b，c的关系，由此可求双曲线的离心率的取值范围．

解答 解：双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的两条渐近线的两条渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
x=$\frac{{a}^{2}}{c}$时，y=±$\frac{ab}{c}$，
∴A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），B（$\frac{{a}^{2}}{c}$，-$\frac{ab}{c}$），
∵90°＜∠AFB＜120°，F（c，0），
由对称性可得tan45°＜k_FB＜tan60°，
即有1＜$\frac{\frac{ab}{c}}{c-\frac{{a}^{2}}{c}}$＜$\sqrt{3}$，
即为1＜$\frac{a}{b}$＜$\sqrt{3}$，
而e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{1+\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}}$∈（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{2}$）．
故选：D．

点评 本题考查双曲线的方程和性质，主要是渐近线方程和离心率的求法，考查学生的计算能力，正确寻找几何量之间的关系是关键．