Question

15．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，1+cosA=λsin²A．
（1）若λ=2，求角A的大小；
（2）若sinB+sinC=$\sqrt{3}$sinA，求λ的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用同角三角函数基本关系式可得2cos²A+cosA-1=0，解得cosA的值，结合A的范围即可得解A的值．
（2）利用正弦、余弦定理及基本不等式即可得出．

解答 解：（1）∵1+cosA=λsin²A，λ=2，
∴1+cosA=2sin²A=2-2cos²A，整理可得：2cos²A+cosA-1=0，
∴解得：cosA=$\frac{1}{2}$，或-1（舍去）．
∵A∈（0，π），
∴A=$\frac{π}{3}$．
（2）在△ABC中，∵sinB+sinC=$\sqrt{3}$sinA，
由正弦定理得b+c=$\sqrt{3}$a，
由1+cosA=λsin²A，得λsin²A-1-cosA=0，化为λcos²A+cosA+1-λ=0，
解得cosA=$\frac{λ-1}{λ}$，或cosA=-1（舍去）．
又cosA=$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$=$\frac{（b+c）^{2}-{a}^{2}-2bc}{2bc}$=$\frac{{a}^{2}}{bc}$-1≥$\frac{{a}^{2}}{（\frac{b+c}{2}）^{2}}$-1=$\frac{1}{3}$，
综上，λ需要满足$\frac{1}{3}$≤$\frac{λ-1}{λ}$＜1，解得λ≥$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，基本不等式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，熟练掌握正弦、余弦定理、基本不等式及不等式的解法是解题的关键，属于中档题．