Question

5．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，△ABC的面积S=$\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{4}$且sinA=$\frac{3}{5}$．
（1）求sinB；
（2）若边c=5，求△ABC的面积S．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理、三角形面积计算公式可得C，再利用同角三角函数基本关系式、三角形内角和定理、和差公式即可得出．
（2）利用正弦定理、三角形面积计算公式即可得出．

解答 解：（1）由余弦定理有c²=a²+b²-2abcosC，∴a²+b²-c²=2abcosC，
则$S=\frac{{{a^2}+{b^2}-{c^2}}}{4}=\frac{abcosC}{2}$，又$S=\frac{1}{2}absinC$，
∴cosC=sinC，tanC=1，在△ABC中$C=\frac{π}{4}$，
∵$sinA=\frac{3}{5}＜\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，在△ABC中$0＜A＜\frac{π}{4}$或$\frac{3π}{4}＜A＜π$，但A+B+C=π，
∴$0＜A＜\frac{π}{4}$，
∴$cosA=\sqrt{1-{{sin}^2}A}=\sqrt{1-{{（{\frac{3}{5}}）}^2}}=\frac{4}{5}$，
sinB=$sin（A+\frac{π}{4}）$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×$（\frac{3}{5}+\frac{4}{5}）$=$\frac{7\sqrt{2}}{10}$．
（2）由正弦定理有$\frac{c}{sinC}=\frac{b}{sinB}$，又c=5，∴$\frac{5}{{sin\frac{π}{4}}}=\frac{b}{{\frac{{7\sqrt{2}}}{10}}}$，得b=7，
∴S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}×7×5×\frac{3}{5}$=$\frac{21}{2}$．

点评 本题考查了正弦定理余弦定理、三角形面积计算公式、同角三角函数基本关系式、三角形内角和定理、和差公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．