Question

16．在直角坐标系xOy中，已知点A（1，1），B（3，3），点C在第二象限，且△ABC是以∠BAC为直角的等腰直角三角形．点P（x，y）在△ABC三边围城的区域内（含边界）．
（1）若$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$求|${\overrightarrow{OP}}$|；
（2）设$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m，n∈R），求m+2n的最大值．

Answer 1

分析 （1）设C（a，b），a＜0，b＞0，根据向量的坐标运算和向量的模，以及向量的垂直的条件求出点C的坐标，再根据向量的加减运算求出P的坐标，问题得以解决，
（2）根据向量的坐标运算，以及线性规划，即可求出答案．

解答 解：（1）设C（a，b），a＜0，b＞0，
∵A（1，1），B（3，3），
∴$\overrightarrow{AB}$=（2，2），$\overrightarrow{AC}$=（a-1，b-1），
∵△ABC是以∠BAC为直角的等腰直角三角形，
∴|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{AC}$|，$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{AC}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{（a-1）^{2}+（b-1）^{2}={2}^{2}+{2}^{2}}\\{2（a-1）+2（b-1）=0}\end{array}\right.$，
解得a=-1，b=3
∴C（-1，3），
设P（x，y），
∵$\overrightarrow{PA}$+$\overrightarrow{PB}$+$\overrightarrow{PC}$=$\overrightarrow{0}$，
∴（1-x，1-y）+（3-x，3-y）+（-1-x，3-y）=（0，0），
∴3-3x=0，7-3y=0
∴x=1，y=$\frac{7}{3}$，
∴P（1，$\frac{7}{3}$），
∴|${\overrightarrow{OP}}$|=$\sqrt{{1}^{2}+（\frac{7}{3}）^{2}}$=$\frac{\sqrt{58}}{3}$
（2）∵$\overrightarrow{AC}$=（-2，2），$\overrightarrow{OP}$=m$\overrightarrow{AB}$+n$\overrightarrow{AC}$（m，n∈R），
∴（x，y）=m（2，2）+n（-2，2）=（2m-2n，2m+2n），
∴x=2m-2n，y=2m+2n，
∴m=$\frac{1}{4}$（x+y），2n=$\frac{1}{2}$（y-x），
∴m+2n=-$\frac{1}{4}$x+$\frac{3}{4}$y，
设z=3y-x，直线z=3y-x经过点C（-1，3）时，z取得最大值，
即m+2n=$\frac{1}{4}$+$\frac{3}{4}$×3=$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了平面向量的数乘及坐标加法运算，考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．