已知函数f(x)=|x-1|-2|x+1|的最大值为k．(1)求k的值,(2)若a.b.c∈R.$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}}{2}$+b2=k.求b(a+c)的最大值．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

18．已知函数f（x）=|x-1|-2|x+1|的最大值为k．
（1）求k的值；
（2）若a，b，c∈R，$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}}{2}$+b²=k，求b（a+c）的最大值．

分析（1）根据分段函数的单调性求出函数的最大值，即可求出k的值，
（2）根据基本不等式即可求出答案．

解答解：（1）由于f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-x-3，x≥1}\\{-3x-1，-1＜x＜1}\\{x+3，x≤-1}\end{array}\right.$，
当x≥1时，函数的最大值为-1-4=-4，
当-1＜x＜1时，f（x）＜f（-1）=3-1=2，
当x≤-1时，f（x）_max=f（-1）=-1+3=2，
所以k=f（x）_max=f（-1）=2．
（2）由已知R，$\frac{{a}^{2}{+c}^{2}}{2}$+b²=2，有（a²+b²）+（b²+c²）=4，
因为a²+b²≥2ab（当a=b取等号），b²+c²≥2bc（当b=c取等号），
所以a²+b²）+（b²+c²）=4≥（ab+bc），即ab+bc≤2，
故b（a+c）的最大值是2

点评本小题主要考查不等式的相关知识，具体涉及到绝对值不等式解法等内容，重点考查考生的化归与转化思想．

练习册系列答案

9．一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回地任意抽取2个小球，已知甲取到了2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是$\frac{15}{28}$．

6．下列不等式中，正确的是（　　）

	A．	若x∈R，则$x+\frac{4}{x}≥4$		B．	若x∈R，则${x^2}+2+\frac{1}{{{x^2}+2}}≥2$
	C．	若x∈R，则${x^2}+1+\frac{1}{{{x^2}+1}}≥2$		D．	若a、b为正实数，则$\frac{{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}{2}≥\sqrt{ab}$

13．已知函数y=f（n），满足f（0）=3，且f （n）=nf（n-1），n∈N₊，则f（3）=（　　）

3．数列{a_n}满足a₁=1，$\sqrt{\frac{1}{{{a_n}^2}}+2}$=$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}$，数列{a_n²}的前n项和记为S_n，若有S_2n+1-S_n≤$\frac{t}{20}$对任意的n∈N^*恒成立，则正整数t的最小值为17．

10．函数f（x）=2${\;}^{1-{x}^{2}}$的部分图象大致是（　　）

A．