Question

7．设a是实数，函数f（x）=a-$\frac{2}{{{2^x}+1}}$（x∈R），
（1）若已知（1，2）为该函数图象上一点，求a的值．
（2）证明：对于任意a，f（x）在R上为增函数．

Answer 1

分析 （1）代值计算即可求出a
（2）运用函数的定义判断证明函数的单调性，先在取两个值x₁，x₂后进行作差变形，确定符号，最后下结论即可．

解答 解：（1）$2=a-\frac{2}{3}⇒a=\frac{8}{3}$．
（2）证明：设任意x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）=$（a-\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}）-（a-\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}）$=$\frac{2}{{{2^{x_2}}+1}}-\frac{2}{{{2^{x_1}}+1}}$=$\frac{{2（{2^{x_1}}-{2^{x_2}}）}}{{（{2^{x_1}}+1）（{2^{x_2}}+1）}}$，
由于指数函数y=2^x在R上是增函数，且x₁＜x₂，所以${2^{x_1}}＜{2^{x_2}}$即${2^{x_1}}-{2^{x_2}}＜0$，
又由2^x＞0，得${2^{{x_1}+1}}＞0$，${2^{{x_2}+1}}＞0$，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），
所以，对于任意a，f（x）在R上为增函数．

点评 本题考查了函数值，通过证明一个函数在给定区间上为增函数，考查了用定义证明函数单调性的知识，属于基础题