题目内容
已知a，b，c为正实数，求证：
+
+
≥a+b+c．
| a2 | ||
|
| b2 | ||
|
| c2 | ||
|
考点：不等式的证明
专题：证明题,不等式的解法及应用
分析：运用基本不等式和累加法，注意等号成立的条件，即可得证．
解答：
证明：由于
+
≥2a，
+
≥2b，
+
≥2c，
则
+
+
+
+
+
≥2a+2b+2c，
当且仅当a2=b2-bc+c2，b2=a2-ac+c2，c2=a2-ab+b2，
即有a=b=c取等号．
再证：2
≥b+c，
由于4（b2-bc+c2）-（b2+c2+2bc）=3（b2-2bc+c2）=3（b-c）2≥0，
即有4（b2-bc+c2）≥b2+c2+2bc，即有上式成立，
同样可得2
≥a+c，2
≥a+b．
则有
+
+
≥a+b+c，
当且仅当a=b=c取得等号．
则有
+
+
≥a+b+c．
| a2 | ||
|
| b2-bc+c2 |
| b2 | ||
|
| a2-ac+c2 |
| c2 | ||
|
| a2-ab+b2 |
则
| a2 | ||
|
| b2 | ||
|
| c2 | ||
|
| b2-bc+c2 |
| a2-ac+c2 |
| a2-ab+b2 |
当且仅当a2=b2-bc+c2，b2=a2-ac+c2，c2=a2-ab+b2，
即有a=b=c取等号．
再证：2
| b2-bc+c2 |
由于4（b2-bc+c2）-（b2+c2+2bc）=3（b2-2bc+c2）=3（b-c）2≥0，
即有4（b2-bc+c2）≥b2+c2+2bc，即有上式成立，
同样可得2
| a2-ac+c2 |
| a2-ab+b2 |
则有
| b2-bc+c2 |
| a2-ac+c2 |
| a2-ab+b2 |
当且仅当a=b=c取得等号．
则有
| a2 | ||
|
| b2 | ||
|
| c2 | ||
|
点评：本题考查不等式的证明，考查累加法证明不等式的方法，考查推理能力，属于中档题．
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