题目内容
已知a，b，c，d∈R，且ad-bc=1，求证：a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1．
考点：二维形式的柯西不等式
专题：证明题,反证法
分析：利用反证法进行证明即可．
解答：
证明：假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1，则有a2+b2+c2+d2+ab+cd-ad+bc=0，
可得（a+b）2+（a-d）2+（b+c）2+（d+c）2=0．
∴
∴b=-a，a=d，b=-c=d，
有-a=a，即a=0．
∴ad-bc=a2-（-a•a）=0．
这与ad-bc=1矛盾，
∴假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1不成立，故a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1．
可得（a+b）2+（a-d）2+（b+c）2+（d+c）2=0．
∴
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有-a=a，即a=0．
∴ad-bc=a2-（-a•a）=0．
这与ad-bc=1矛盾，
∴假设a2+b2+c2+d2+ab+cd=1不成立，故a2+b2+c2+d2+ab+cd≠1．
点评：本题考查不等式的证明，正确运用反证法是关键．
练习册系列答案
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