Question

19．在数列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{{2{a_n}}}{{2+{a_n}}}$（n∈N^*）．
（Ⅰ）计算a₂、a₃、a₄；
（Ⅱ）试猜想这个数列的通项公式，并给出证明．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由a₁=1，a_n+1=$\frac{{2{a_n}}}{{2+{a_n}}}$，代入计算，可求a₂、a₃、a₄；
（Ⅱ）猜想{a_n}的通项公式；用数学归纳法证明，关键是假设当n=k（k≥1）时，命题成立，利用递推式，证明当n=k+1时，等式成立．或证明$\{\frac{1}{a_n}\}$是以$\frac{1}{a_1}=1$为首项，$\frac{1}{2}$为公差的等差数列．

解答 解：（Ⅰ）依题意，${a_2}=\frac{{2{a_1}}}{{2+{a_1}}}=\frac{2}{3}$，${a_3}=\frac{{2{a_2}}}{{2+{a_2}}}=\frac{1}{2}$，${a_4}=\frac{{2{a_3}}}{{2+{a_3}}}=\frac{2}{5}$…（3分）
（Ⅱ）猜想${a_n}=\frac{2}{n+1}$…（4分）
（方法一•数学归纳法）
①当n=n₀（n₀=1，2或3）时，由（Ⅰ）知，猜想成立…（6分）
②假设当$n=k（k≥{n_0}，k∈{N^*}）$时，${a_k}=\frac{2}{k+1}$…（7分）
则当n=k+1时，${a_{k+1}}=\frac{{2{a_k}}}{{2+{a_k}}}=\frac{{2•\frac{2}{k+1}}}{{2+\frac{2}{k+1}}}=\frac{{\frac{4}{k+1}}}{{\frac{2（k+1）+2}{k+1}}}=\frac{2}{k+2}=\frac{2}{（k+1）+1}$猜想也成立…（11分）
综上所述，对于一切n∈N^*，${a_n}=\frac{2}{n+1}$…（12分）
（方法二）由${a_{n+1}}=\frac{{2{a_n}}}{{2+{a_n}}}$与a₁=1得，对于一切n∈N^*，a_n≠0…（4分）
两边取倒数得$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}=\frac{{2+{a_n}}}{{2{a_n}}}=\frac{1}{a_n}+\frac{1}{2}$…（6分）
故$\frac{1}{{{a_{n+1}}}}-\frac{1}{a_n}=\frac{1}{2}$，从而$\{\frac{1}{a_n}\}$是以$\frac{1}{a_1}=1$为首项，$\frac{1}{2}$为公差的等差数列…（9分）
∴$\frac{1}{a_n}=1+（n-1）•\frac{1}{2}=\frac{n+1}{2}$…（11分），
故${a_n}=\frac{2}{n+1}$…（12分）

点评 本题考查猜想、证明的推理方法，考查数学归纳法证明命题．注意证明的步骤的应用．