Question

12．已知函数f（x）=e^x+be^-x，（b∈R），函数g（x）=2asinx，（a∈R）．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若b=-1，f（x）＞g（x），x∈（0，π），求a取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过讨论b的范围，求出函数的单调区间即可；
（2）构造函数h（x）=e^x-e^-x-2asinx，x∈（0，π），通过讨论a的范围确定函数的单调性，从而求出a的范围．

解答 解：（1）$f'（x）={e^x}-b{e^{-x}}=\frac{{{{（{e^x}）}^2}-b}}{e^x}$
①当b≤0时，f'（x）≥0，所以f（x）的增区间为（-∞，+∞）；
②当b＞0时，减区间为$（-∞，\frac{1}{2}lnb）$，增区间为$（\frac{1}{2}lnb，+∞）$．
（2）由题意得e^x-e^-x-2asinx＞0，x∈（0，π）恒成立，
构造函数h（x）=e^x-e^-x-2asinx，x∈（0，π）
显然a≤0时，e^x-e^-x-2asinx＞0，x∈（0，π）恒成立，
下面考虑a＞0时的情况：h（0）=0，h′（x）=e^x+e^-x-2acosx，h′（0）=2-2a，
当0＜a≤1时，h′（x）≥0，所以h（x）=e^x-e^-x-2asinx在（0，π）为增函数，
所以h（x）＞h（0）=0，即0＜a≤1满足题意；
当a＞1时，h′（0）=2-2a＜0，又$h'（\frac{π}{2}）＞0$，
所以一定存在${x_0}∈（0，\frac{π}{2}）$，h′（x₀）=0，且h′（x）＜0，x∈（0，x₀），
所以h（x）在（0，x₀）单调递减，所以h（x）＜h（0）=0，
x∈（0，x₀），不满足题意．
综上，a取值范围为（-∞，1]．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及三角函数问题，是一道综合题．