Question

10．Rt△ABC中，AB=AC，以C点为一个焦点作一个椭圆，使这个椭圆的另一个焦点在边AB上，且椭圆过A、B两点，则这个椭圆的离心率为$\sqrt{6}-\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设∠AFC=θ，$∠BCF=θ-\frac{π}{4}$，在△BCF中，由正弦定理求得丨BC丨，在Rt△ABC中，$|{BC}|=\sqrt{2}|{AC}|=2\sqrt{2}csinθ$，列方程取得θ的正弦及余弦值，分别表示出，|AC|及|AF|，由椭圆的离心率e=$\frac{c}{a}$，代入即可求得椭圆的离心率．

解答 解：如图，设∠AFC=θ，则$∠BCF=θ-\frac{π}{4}$．（F在AB上，F是椭圆的另一个焦点）

设椭圆的方程为$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（a＞b＞0）$，则|CF|=2c，|AC|=2c•sinθ，|AF|=2c•cosθ．
在△BCF中，由正弦定理和合分比定理，$\frac{{|{BC}|}}{sinθ}=\frac{{|{BF}|}}{{sin（θ-\frac{π}{4}）}}=\frac{{|{BC}|+|{BF}|}}{{sinθ+sin（θ-\frac{π}{4}）}}=\frac{2a}{{sinθ+sin（θ-\frac{π}{4}）}}$．
∴$|{BC}|=2a•\frac{sinθ}{{sinθ+sin（θ-\frac{π}{4}）}}$．
在Rt△ABC中，$|{BC}|=\sqrt{2}|{AC}|=2\sqrt{2}csinθ$，
由此得到$2\sqrt{2}csinθ=2a•\frac{sinθ}{{sinθ+sin（θ-\frac{π}{4}）}}=2c（{sinθ+cosθ}）•\frac{sinθ}{{sinθ+sin（θ-\frac{π}{4}）}}$，
∴$\sqrt{2}sinθ[sinθ+sin（θ-\frac{π}{4}）]=sinθ（sinθ+cosθ）$．
∴$tanθ=\sqrt{2}$，$sinθ=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，$cosθ=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．
∴$\frac{c}{a}=\frac{{|{FC}|}}{{|{AF}|+|{AC}|}}=\frac{2c}{2ccosθ+2csinθ}=\frac{1}{cosθ+sinθ}=\frac{1}{{\frac{{\sqrt{3}}}{3}+\frac{{\sqrt{6}}}{3}}}=\frac{3}{{\sqrt{6}+\sqrt{3}}}=\sqrt{6}-\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{6}-\sqrt{3}$．

点评 本题椭圆的离心率的求法，正弦定理及三角恒等变换的综合应用，考查计算能力，属于难题．