Question

函数f（x）=xⁿ+（1-x）ⁿ，x∈（0，1），n∈N^*．记y=f（x）的最小值为a_n，则a₁+a₂+…+a₆=______．

Answer 1

n=1时，f（x）=x+（1-x）=1，
∴a₁=1
n≥2时，f（x）=xⁿ+（1-x）ⁿ，
f′（x）=nx^n-1-n（1-x）^n-1=n[x^n-1-（1-x）^n-1]=0
解得x=

1

2

，
当x∈（0，

1

2

），f′（x）＜0，函数f（x）在区间（0，

1

2

）上是减函数，
当x∈（

1

2

，1），f′（x）＞0，函数f（x）在区间（

1

2

，1）上是增函数，
∴当x=

1

2

时，函数f（x）的最小值为f（

1

2

）=(

1

2

)n-1，
∴a₁+a₂+…+a₆=1+

1

2

+

1

4

+…+

1

32

=

63

32

故答案为：

63

32

．