Question

10．已知如图，圆C、椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$（a＞b＞0）均经过点M（2，$\sqrt{2}$），圆k的圆心为（$\frac{5}{2}$，0），椭圆E的两焦点分别为F₁（-2，0），F₂（2，0）
（Ⅰ）分别求圆C和椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）过F₁作直线l与圆C交于A、B两点，试探究|F₁A|•|F₂B|是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依题意知圆C的半径$r=\sqrt{{{（{2-\frac{5}{2}}）}^2}+2}=\frac{3}{2}$，可得圆C的标准方程．由椭圆的定义得：2a=|MF₁|+|MF₂|，
即$2a=\sqrt{{{（{2+2}）}^2}+2}+\sqrt{{{（{2-2}）}^2}+2}=4\sqrt{2}$，及其b²=a²-c²即可得出．
（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，设为k，则l的方程为y=k（x+2），与椭圆方程联立可得：（1+k²）x²+（4k²-5）x+4（k²+1）=0，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），利用根与系数的关系及其$|{{F_2}A}|•|{{F_2}B}|=\sqrt{[{{{（{{x_1}-2}）}^2}+y_1^2}][{{{（{{x_2}-2}）}^2}+y_2^2}]}$，即可证明．

解答 解：（Ⅰ）依题意知圆C的半径$r=\sqrt{{{（{2-\frac{5}{2}}）}^2}+2}=\frac{3}{2}$，------------------------------------（1分）
∴圆C的标准方程为：${（{x-\frac{5}{2}}）^2}+{y^2}=\frac{9}{4}$；-------------------------------------------------------------（2分）
∵椭圆$E：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$过点M$（{2，\sqrt{2}}）$，且焦点为（-2，0）、（2，0），
由椭圆的定义得：2a=|MF₁|+|MF₂|，
即$2a=\sqrt{{{（{2+2}）}^2}+2}+\sqrt{{{（{2-2}）}^2}+2}=4\sqrt{2}$，----------------------------------------------------------（4分）
∴a²=8，b²=a²-4=4，
∴椭圆E的方程为：$\frac{x^2}{8}+\frac{y^2}{4}=1$-----------------------------------------------------------------------------（6分）
（Ⅱ）显然直线l的斜率存在，设为k，则l的方程为y=k（x+2），
由$\left\{{\begin{array}{l}{y=k（{x+2}）}\\{{{（{x-\frac{5}{2}}）}^2}+{y^2}=\frac{9}{4}}\end{array}}\right.$消去y得：（1+k²）x²+（4k²-5）x+4（k²+1）=0，-----------------------------------------------------------------（8分）
显然△＞0有解，
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则x₁x₂=4，------------------------------------------------------------------（9分）$|{{F_2}A}|•|{{F_2}B}|=\sqrt{[{{{（{{x_1}-2}）}^2}+y_1^2}][{{{（{{x_2}-2}）}^2}+y_2^2}]}$=$\sqrt{[（{x}_{1}-2）^{2}+\frac{9}{4}-（{x}_{1}-\frac{5}{2}）^{2}][（{x}_{2}-2）^{2}+\frac{9}{4}-（{x}_{1}-\frac{5}{2}）^{2}]}$
=$\sqrt{{x_1}{x_2}}=2$．
故|F₂A|•|F₂B|为定值，其值为2．----------------------------------------------------------------------------（12分）

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．