Question

设f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≥0时，f(x)＝2^x.若对任意的x∈[a，a＋2]，不等式f(x＋a)≥f²(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．

Answer 1

[解析]　由题意知，f(x)＝2^|x|，所以f(x＋a)≥f²(x)等价于2^|x＋a|≥2^|2x|，等价于|x＋a|≥|2x|，平方得3x²－2ax－a²≤0，即(x－a)(3x＋a)≤0在x∈[a，a＋2]上恒成立，等价于[a，a＋2]是的一个子区间．

(1)当a>0时，[a，a＋2]不是[－，a]的一个子区间，所以a>0不合题意．

(2)当a<0时，[a，a＋2]是的一个子区间解得a≤－.

综上，a≤－.