Question

16．如图所示：已知圆N：（x+2）²+y²=8和抛物线C：y²=2x，圆N的切线l与抛物线C交于不同的两点A，B．
（1）当直线l的斜率为1时，求线段AB的长；
（2）设点O为坐标原点，问是否存在直线l，使得$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）圆N的圆心N为（-2，0），半径r=2$\sqrt{2}$，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），设l的方程，利用直线l是圆N的切线，求得m的值，从而可得直线l的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理，即可计算弦长|AB|；
（2）假设存在符合题意的直线l，依题意可设直线l的方程为x=ty+n（n＞0），利用直线与圆相切，$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，结合韦达定理，即可得出结论．

解答 解：因为圆N：（x+2）²+y²=8，所以圆心N为（-2，0），半径r=2$\sqrt{2}$，…（1分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
（1）当直线l的斜率为1时，设l的方程为y=x+m即x-y+m=0
因为直线l是圆N的切线，所以$\frac{|-2+m|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$，解得m=-2或m=6（舍），此时直线l的方程为y=x-2，…（3分）
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x-2}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$消去x得y²-2y-4=0，
所以△＞0，y₁+y₂=2，y₁y₂=-4，…（4分）
所以弦长|AB|=$\sqrt{1+1}•\sqrt{4+16}$=2$\sqrt{10}$…（5分）
（2）假设存在符合题意的直线l，依题意可设直线l的方程为x=ty+n（n＞0）
∵直线l与圆N相切，∴$\frac{|-2-n|}{\sqrt{1+{t}^{2}}}$=2$\sqrt{2}$，
∴（n+2）²=8（1+t²）①…（6分）
∵$\overrightarrow{OA}⊥\overrightarrow{OB}$，
∴x₁x₂+y₁y₂=0而x₁=ty₁+n，x₂=ty₂+n
∴（1+t²）y₁y₂+tn（y₁+y₂）+n²=0②…（8分）
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ty+n}\\{{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，∴y²-2ty-2n=0，
∴y₁+y₂=2t，y₁y₂=-2n③…（9分）
把③代入②得：-2n（1+t²）+tn•2t+n²=0
又n＞0，∴n=2（10分）
把n=2代入①得：t=±1；此时l的方程为：x=±y+2．
故存在符合题意的直线l的方程为x±y-2=0．…（12分）

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查弦长的计算，考查韦达定理的运用，解题的关键是联立方程，正确运用韦达定理．