Question

20．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，对任意n∈N^*都有S_n=$\frac{2}{3}$a_n-$\frac{1}{3}$，若-1＜S_k＜2，则正整数k的值为2．

Answer 1

分析 由当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=$\frac{2}{3}$a_n-$\frac{2}{3}$a_n-1，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=-2，可知{a_n}是1为首项，-2为公比的等比数列，根据等比数列的前n项和公式，列不等式，即可求得正整数k的值．

解答 解：当n=1时，a₁=$\frac{2}{3}$a₁-$\frac{1}{3}$，a₁=-1，
当n≥2时，S_n-1=$\frac{2}{3}$a_n-1-$\frac{1}{3}$，
∴a_n=S_n-S_n-1=$\frac{2}{3}$a_n-$\frac{2}{3}$a_n-1，
∴$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=-2，
∴{a_n}是1为首项，-2为公比的等比数列，
a_n=-1（-2）^n-1，
∴S_n=$\frac{-1[1-（-2）^{n}]}{1-（-2）}$，
由-1＜S_k＜2，即-1＜-$\frac{1}{3}$[1-（-2）^k]＜2，
-2＜（-2）^k＜7
解得：k=2，
故答案为：2．

点评 本题考查等比数列通项公式及前n项和公式的应用，考查计算能力，属于中档题．