Question

3．已知圆C：x²+y²-4x-6y+9=0及直线l：2mx-3my+x-y-1=0（m∈R）
（1）证明：不论m取何值，直线l与圆C恒相交；
（2）求直线l被圆C截得的弦长最短时的直线方程．

Answer 1

分析 （1）由l：2mx-3my+x-y-1=0得m（2x-3y）+x-y-1=0，所以直线l总过定点P（3，2），判断点P（3，23）在圆内，即可证明结论；
（2）当直线l过定点P（3，2）且垂直于过点P的圆C的半径时，l被截得的弦长|AB|最短．

解答 解：由x²+y²-4x-6y+9=0得（x-2）²+（y-3）²=4
∴圆C的圆心为（2，3），半径为2…（2分）
（1）证明：由l：2mx-3my+x-y-1=0得m（2x-3y）+x-y-1=0．
由$\left\{\begin{array}{l}{2x-3y=0}\\{x-y-1=0}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$，
∴不论m取何值，直线l恒过点P（3，2）…．（4分）
∵3²+2²-12-12+9=-2＜0，
∴点P（3，2）在圆C内
所以不论m取何值，直线l与圆C恒相交…．（6分）
（2）当直线l垂直CP时，直线l被圆C截得的弦长最短，
∵k_CP=-1，
所以所求的直线方程为y=x-1…．（12分）

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查弦长的计算，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．