在平面直角坐标系xOy中.圆C的方程为(x-4)2+y2=1.且圆C与x轴交于M.N两点.设直线l的方程为y=kx(1)当直线l与圆C相切时.求直线l的方程,(2)已知直线l与圆C相交于A.B两点(i)若AB≤$\frac{2\sqrt{17}}{17}$.求实数k的取值范围,(ii)直线AM与直线BN相交于点P.直线AM.直线BN.直线OP的斜率分别为k1.k2.k3.是� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

8．

在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x-4）²+y²=1，且圆C与x轴交于M，N两点，设直线l的方程为y=kx（k＞0）
（1）当直线l与圆C相切时，求直线l的方程；
（2）已知直线l与圆C相交于A，B两点
（i）若AB≤$\frac{2\sqrt{17}}{17}$，求实数k的取值范围；
（ii）直线AM与直线BN相交于点P，直线AM，直线BN，直线OP的斜率分别为k₁，k₂，k₃，是否存在常数a，使得k₁+k₂=ak₃恒成立？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

分析（1）由题意k＞0，圆心C到直线l的距离d=$\frac{4k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，由直线l与圆C相切得k=$\frac{\sqrt{15}}{15}$，由此能求出直线l．
（2）（i）由题意得0＜AB=2$\sqrt{1-{d}^{2}}$≤$\frac{2\sqrt{17}}{17}$，从而d=$\frac{4k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，由此能求出实数k的取值范围．
（ii）l_AM：y=k₁（x-3），与圆C：（x-4）²+y²=1联立，得$（x-3）[（1+{{k}_{1}}^{2}）x-（3{{k}_{1}}^{2}+5）]=0$，由韦达定理求出A，B的坐标，从而得到（1+k₁k₂）（3k₁+5k₂）=0，由此能证明存在常数a=2，使得k₁+k₂=2k₃恒成立．

解答解：（1）由题意k＞0，
∴圆心C到直线l的距离d=$\frac{4k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∵直线l与圆C相切，
∴d=$\frac{4k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=$\frac{\sqrt{15}}{15}$，
∴直线l：y=$\frac{\sqrt{15}}{15}$x．
（2）（i）由题意得0＜AB=2$\sqrt{1-{d}^{2}}$≤$\frac{2\sqrt{17}}{17}$，
解得$\frac{4\sqrt{17}}{17}≤d＜1$，
由（1）知d=$\frac{4k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
∴$\frac{4\sqrt{17}}{17}≤\frac{4k}{\sqrt{1+{k}^{2}}}＜1$，
∴$\frac{1}{4}≤k＜\frac{\sqrt{15}}{15}$．
（ii）l_AM：y=k₁（x-3），
与圆C：（x-4）²+y²=1联立，
得$（x-3）[（1+{{k}_{1}}^{2}）x-（3{{k}_{1}}^{2}+5）]=0$，
∴${x}_{M}=3，{x}_{A}=\frac{3{{k}_{1}}^{2}+5}{1+{{k}_{1}}^{2}}$，
∴A（$\frac{3{{k}_{1}}^{2}+5}{1+{{k}_{1}}^{2}}$，$\frac{2{k}_{1}}{1+{{k}_{1}}^{2}}$），
同理，得B（$\frac{5{{k}_{2}}^{2}+3}{1+{{k}_{2}}^{2}}$，$\frac{-2{k}_{2}}{1+{{k}_{2}}^{2}}$），
∵k_OA=k_OB，
∴$\frac{\frac{2{k}_{1}}{1+{{k}_{1}}^{2}}}{\frac{3{{k}_{1}}^{2}+5}{1+{{k}_{1}}^{2}}}$=$\frac{\frac{-2{k}_{2}}{1+{{k}_{2}}^{2}}}{\frac{5{{k}_{2}}^{2}+3}{1+{{k}_{2}}^{2}}}$，即（1+k₁k₂）（3k₁+5k₂）=0，
∵k₁k₂≠-1，
∴${k}_{2}=-\frac{3}{5}{k}_{1}$，
设P（x₀，y₀），
则$\left\{\begin{array}{l}{{y}_{0}={k}_{1}（{x}_{0}-3）}\\{{y}_{0}={k}_{2}（{x}_{0}-5）}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}=\frac{3{k}_{1}-5{k}_{2}}{{k}_{1}-{k}_{2}}}\\{{y}_{0}=\frac{-2{k}_{1}{k}_{2}}{{k}_{1}-{k}_{2}}}\end{array}\right.$．
∴P（$\frac{3{k}_{1}-5{k}_{2}}{{k}_{1}-{k}_{2}}$，$\frac{-2{k}_{1}{k}_{2}}{{k}_{1}-{k}_{2}}$），即P（$\frac{15}{4}$，$\frac{3{k}_{1}}{4}$），
∴${k}_{3}=\frac{\frac{3{k}_{1}}{4}}{\frac{15}{4}}$=$\frac{{k}_{1}}{5}$，
∴${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{2}{5}{k}_{1}=2{k}_{3}$，
∴存在常数a=2，使得k₁+k₂=2k₃恒成立．