题目内容

已知函数f（x）=f′（
π
4
）sinx+cosx，则f(
π
4
)=
-1
-1
．
分析：对函数f（x）的解析式求导，得到其导函数，把x=
π
4
代入导函数中，列出关于f'（
π
4
）的方程，进而得到f'（
π
4
）的值，确定出函数f（x）的解析式，把x=
π
4
代入f（x）解析式，即可求出f（
π
4
）的值．
解答：解：求导得f′（x）=f′（
π
4
）cosx-sinx，
令x=
π
4
得f′（
π
4
）=f′（
π
4
）cos
π
4
-sin
π
4

解得f′（
π
4
）=-
2
-1
∴f（x）=（-
2
-1）sinx+cosx，
则f(
π
4
)=（-
2
-1）sin
π
4
+cos
π
4
=-1
故答案为：-1
点评：本题主要考查了导数的运算，以及函数的值，同时考查了计算能力，解题的关键是求f′（
π
4
）的值，属于基础题．
练习册系列答案
相关题目
15、已知函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），且f（x）=x无实根，则下列命题中：
（1）方程f[f（x）]=x一定无实根；
（2）若a＞0，则不等式f[f（x）]＞x对一切实数x都成立；
（3）若a＜0，则必存在实数x0，使得f[f（x0）]＞x0；
（4）若a+b+c=0，则不等式f[f（x）]＜x对一切x都成立．
其中正确命题的序号有
（1）（2）（4）
（写出所有真命题的序号）
已知函数f（x）=3x，且f-1（18）=a+2，g（x）=3ax-4x的定义域为[0，1]．
（1）求g（x）的解析式；
（2）求g（x）的单调区间，确定其单调性并用定义证明；
（3）求g（x）的值域．
已知函数f（x）对任意x，y∈R总有f（x）+f（y）=f（x+y）且当x＞0时，f（x）＜0，f（1）=-
23

（1）求证：f（x）+f（-x）=0
（2）求证：函数f（x）是R上的减函数；
（3）求f（X）在[-3，3]上的最大值和最小值．
（2011•上海模拟）已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．
已知函数f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）当a=1，b=2时，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1对任意0＜a＜b恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设k、c＞0，当a=k2，b=（k+c）2时，记f（x）=f1（x）；当a=（k+c）2，b=（k+2c）2时，记f（x）=f2（x）．
求证：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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