题目内容
设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，且有2bcosA=acosC+ccosA
（1）求A．
（2）若b=2，c=l，G为△ABC的重心，求AG的长．
（1）求A．
（2）若b=2，c=l，G为△ABC的重心，求AG的长．
分析：（1）△ABC中由条件利用正弦定理求出 cosA 的值，从而求得A的值．
（2）由
=
(
+
)，利用两个向量的数量积的定义求得
2 的值，即可求得AG的值．
（2）由
| AG |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| AC |
| AG |
解答：解：（1）△ABC中，∵2bcosA=acosC+ccosA，由正弦定理可得 2sinBcosA=sinAcosC+cosAsinC=sin（A+C）=sinB，
∴cosA=
，A=
．
（2）若b=2，c=l，∵
=
(
+
)，∴
2=
（
2+
2+2
•
）=
（1+4+2×1×2×cos
）=
，
∴|
|=
，即 AG=
．
∴cosA=
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
（2）若b=2，c=l，∵
| AG |
| 1 |
| 3 |
| AB |
| AC |
| AG |
| 1 |
| 9 |
| AB |
| AC |
| AB |
| AC |
| 1 |
| 9 |
| π |
| 3 |
| 7 |
| 9 |
∴|
| AG |
| ||
| 3 |
| ||
| 3 |
点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，正弦定理的应用，属于中档题．
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