Question

请您设计一个帐篷.它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如下图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心O₁的距离为多少时，帐篷的体积最大？

Answer 1

解：设OO₁为xm,则1＜x＜4,由题设可得正六棱锥底面边长为（单位：m）：=,故底面正六边形的面积为（单位：m²）：6·?·()²=·(8+2x-x²),

帐篷的体积为（单位：m³）：V_(x)=  (8+2x-x²)［(x-1)+1］=(16+12x-x³),

求导得V′(x)=  (12-3x²).

令V′(x)=0,解得x=-2（不合题意，舍去），x=2.

当1＜x＜2时，V′(x)＞0,V(x)为增函数；

当2＜x＜4时，V′(x)＜0,V(x)为减函数.

∴当x=2时，V(x)最大.

答：当OO₁为2 m时，帐篷的体积最大，最大体积为16m³.