Question

如图所示，双曲线的中心在坐标原点，焦点在x轴上，F1，F2分别为左、右焦点，双曲线的左支上有一点P，∠F1PF2＝，且△PF1F2的面积为2，双曲线的离心率为2，求该双曲线的标准方程．

 

 

Answer 1

－＝1

【解析】△PF1F2是焦点三角形，利用余弦定理来探索|PF1|，|PF2|，a，b，c之间的关系，以便确定双曲线的基本量的大小．

设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，则F1(－c,0)，F2(c,0)，在△PF1F2中，由余弦定理可得

|F1F2|2＝|PF1|2＋|PF2|2－2|PF1|·|PF2|·cos＝(|PF1|－|PF2|)2＋|PF1|·|PF2|，∴4c2＝4a2＋|PF1|·|PF2|．

又S△PF1F2＝2，∴|PF1|·|PF2|·sin＝2．

∴|PF1|·|PF2|＝8，∴4c2＝4a2＋8，∴c2＝a2＋2，∴b2＝c2－a2＝2，又e＝＝2，∴c＝2a，∴4a2＝a2＋2，∴a2＝．

∴双曲线的标准方程为－＝1．