题目内容
8．已知函数f（x）=x2+4x+4，若存在实数t，当x∈[1，t]时，f（x+a）≤4x恒成立，则实数t的最大值为（ ）| A． | 4 | B． | 7 | C． | 8 | D． | 9 |
分析 先由f（x）=（x+2）2和f（x+a）≤4x得（x+a+2）2≤4x，化简得（x+a）2+4a+4≤0，令g（x）=（x+a）2+4a+4，利用函数性质将恒成立问题转化为g（1）≤0且g（t）≤0，求解t的范围，最后求出最值．
解答 解：由f（x）=（x+2）2，
f（x+a）≤4x，即为（x+a+2）2≤4x，
化简（x+a）2+4a+4≤0，
设g（x）=（x+a）2+4a+4，g（x）图象为开口向上的抛物线，
若对任意的x∈[1，t]，g（x）≤0恒成立，
只需函数在两个端点处的函数值非正即可，
即g（1）=a2+6a+5≤0，配方得（a+3）2≤4，则-5≤a≤-1；
此时g（t）≤0即为g（t）=（t+a）2+4a+4≤0，
即有-4≤t-5≤4，解得1≤t≤9，
又t＞1，
则t的最大值为9．
故选：D．
点评 本题考查函数恒成立问题的解法，注意运用转化思想，结合二次函数的图象及性质求解，是一种重要的方法．
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