Question

16．设函数f（x）=e^x（sinx-cosx）（0≤x≤2016π），则函数f（x）的各极小值之和为（　　）

• A． $-\frac{{{e^{2π}}（1-{e^{2016π}}）}}{{1-{e^{2π}}}}$
• B． $-\frac{{{e^{2π}}（1-{e^{1008π}}）}}{{1-{e^π}}}$
• C． $-\frac{{{e^{2π}}（1-{e^{1008π}}）}}{{1-{e^{2π}}}}$
• D． $-\frac{{{e^{2π}}（1-{e^{2014π}}）}}{{1-{e^{2π}}}}$

Answer 1

分析 先求出其导函数，利用导函数求出其单调区间，进而找到其极小值f（2kπ+2π）=e^2kπ+2π，再利用等比数列的求和公式来求函数f（x）的各极小值之和即可．

解答 解：∵函数f（x）=e^x（sinx-cosx），
∴f′（x）=（e^x）′（sinx-cosx）+e^x（sinx-cosx）′=2e^xsinx，
∵x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时，f′（x）＜0，x∈（2kπ+2π，2kπ+3π）时，f′（x）＞0，
∴x∈（2kπ+π，2kπ+2π）时原函数递减，
x∈（2kπ+2π，2kπ+3π）时，函数f（x）递增，
故当x=2kπ+2π时，f（x）取极小值，
其极小值为f（2kπ+2π）=e^2kπ+2π[sin（2kπ+2π）-cos（2kπ+2π）]
=e^2kπ+2π×（0-1）=-e^2kπ+2π，
又0≤x≤2016π，
∴函数f（x）的各极小值之和S=-e^2π-e^4π-e^6π-…-e^2012π-e^2014π-e^2016π
=$\frac{-{e}^{2π}[1-（{e}^{2π}）^{1008}]}{1-{e}^{2π}}$=-$\frac{{e}^{2π}（1-{e}^{2016π}）}{1-{e}^{2π}}$．
故选：A．

点评 本题主要考查利用导数研究函数的极值以及等比数列的求和．利用导数求得当x=2kπ+2π时，f（x）取极小值是解题的关键，利用导数研究函数的单调性与最值是教学中的重点和难点，学生应熟练掌握，属于中档题．