Question

9．已知圆x²+y²+2ax-2ay+2a²-4a=0（0＜a≤4）的圆心为C，直线l：y=x+4．
（Ⅰ）写出该圆的圆心坐标及半径；
（Ⅱ）求直线l被圆C所截得弦长的最大值．

Answer 1

分析 （1）将圆的方程转化为标准方程求得圆心C的坐标和半径；
（2）求得圆心C到直线l的距离，由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系得L=2$\sqrt{2{a}^{2}-（\sqrt{2}|2-a|）^{2}}$=2$\sqrt{-2（a-3）^{2}+10}$，最后由二次函数法求解．

解答 解：（1）已知圆的标准方程是（x+a）²+（y-a）²=4a（0＜a≤4），
则圆心C的坐标是（-a，a），半径为2$\sqrt{a}$．
（2）直线l的方程化为：x-y+4=0．则圆心C到直线l的距离是=$\frac{|4-2a|}{\sqrt{2}}$=$\sqrt{2}$|2-a|．
设直线l被圆C所截得弦长为L，由圆弦长、圆心距和圆的半径之间关系是：
L=2$\sqrt{2{a}^{2}-（\sqrt{2}|2-a|）^{2}}$=2$\sqrt{-2（a-3）^{2}+10}$，
∵0＜a≤4，∴当a=3时，L的最大值为2$\sqrt{10}$．

点评 本题主要考查直线与圆的位置关系及其方程的应用，主要涉及了直线与圆相交，由圆心距，半径和圆的弦长构成的直角三角形．