Question

在数列{a_n}中，已知a₁=2，a_n=2a_n-1（n≥2，n∈N^*）．
（1）试写出a₂，a₃，并求数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）设b_n=log₂a_n，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

考点：数列的求和,数列递推式

专题：等差数列与等比数列,点列、递归数列与数学归纳法

分析：本题（1）利用递推公式求出数列的第1、2项，根据等差数列的定义得到等差数列，利用等差数列的通项公式求出数列{a_n}的通项公式a_n；
（2）由b_n=log₂a_n，得到数列{b_n}成等差，利用等差数列的求和公式求出数列{b_n}的前n项和S_n．

解答： 解：（1）∵a₁=2，a_n=2a_n-1（n≥2，n∈N^*），
∴a₂=2a₁=2×2=4，
a₃=2a₂=2×4=8，
∴数列{a_n}是首项为2，公比为2的等比数列，
an=2×2n-1=2ⁿ，（n∈N^*）．
∴a₂=4，a₃=8，an=2n．
（2）由（1）知：an=2n，
∴b_n=log₂a_n=n，
∴b₁=1，b_n+1-b_n=n+1-n=1，
∴数列{b_n}成等差，首项为1，公差为1，
∴数列{b_n}的前n项和S_n=

n(n+1)

2

．

点评：本题考查了等比数列的通项公式、等差数列的求和公式，本题难度不大，属于基础题．