Question

5．向量$\overrightarrow a$=（sinx，cosx），$\overrightarrow b$=（sinx，sinx），$\overrightarrow c$=（-1，0）．
（Ⅰ）若x=$\frac{π}{3}$，求向量$\overrightarrow a$、$\overrightarrow c$的夹角；
（Ⅱ）若x∈$[-\frac{3π}{8}，\frac{π}{4}]$，函数$f（x）=λ\overrightarrow a•\overrightarrow b$的最大值为$\frac{1}{2}$，求λ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）x=$\frac{π}{3}$时，可以求出向量$\overrightarrow{a}$的坐标，然后根据$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}$即可求出$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞$，从而可以得出向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$的夹角；
（Ⅱ）进行向量数量积的坐标运算得出$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$的值，从而得到$f（x）=\frac{\sqrt{2}λ}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+\frac{λ}{2}$，可以求出$2x-\frac{π}{4}∈[-π，\frac{π}{4}]$，讨论λ＞0和λ＜0两种情况，根据f（x）的最大值为$\frac{1}{2}$便可建立关于λ的方程，从而便可求出λ的值．

解答 解：（Ⅰ）$x=\frac{π}{3}$时，$\overrightarrow{a}=（\frac{\sqrt{3}}{2}，\frac{1}{2}）$；
∴$cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞=\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{c}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{c}|}=\frac{-\frac{\sqrt{3}}{2}}{1•1}=-\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}＞=\frac{5π}{6}$；
即向量$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{c}$的夹角为$\frac{5π}{6}$；
（Ⅱ）$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}=si{n}^{2}x+sinxcosx=\frac{1-cos2x}{2}+\frac{1}{2}sin2x$=$\frac{\sqrt{2}}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+\frac{1}{2}$；
∴$f（x）=\frac{\sqrt{2}λ}{2}sin（2x-\frac{π}{4}）+\frac{λ}{2}$；
∵$x∈[-\frac{3π}{8}，\frac{π}{4}]$；
∴$2x-\frac{π}{4}∈[-π，\frac{π}{4}]$；
①若λ＜0，则$2x-\frac{π}{4}=-\frac{π}{2}$时，f（x）取最大值$-\frac{\sqrt{2}λ}{2}+\frac{λ}{2}=\frac{1}{2}$；
∴$λ=-1-\sqrt{2}$；
②若λ＞0，则$2x-\frac{π}{4}=\frac{π}{4}$时，f（x）取最大值$\frac{\sqrt{2}λ}{2}•\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{λ}{2}=\frac{1}{2}$；
∴$λ=\frac{1}{2}$．

点评 考查向量夹角余弦的坐标公式，已知三角函数值求角，向量数量积的坐标运算，二倍角的正余弦公式，以及正弦函数在闭区间上的最值．