Question

2．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞0，b＞0}）$的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，直线$x+y+2\sqrt{2}-1=0$与以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半轴长为半径的圆相切．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点B，C，D是椭圆上不同于椭圆顶点的三点，点B与点D关于原点O对称．设直线CD，CB，OB，OC的斜率分别为k₁，k₂，k₃，k₄，且k₁k₂=k₃k₄．
（ⅰ）求k₁k₂的值；
（ⅱ）求OB²+OC²的值．

Answer 1

分析 （1）设椭圆C的右焦点F₂（c，0），则c²=a²-b²（c＞0），以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半 轴长为半径的圆的方程为（x-c）²+y²=a²，圆心到直线$x+y+2\sqrt{2}-1=0$的距离d=$\frac{|c+2\sqrt{2}-1|}{\sqrt{2}}$=a，由此利用椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，能求出椭圆方程．
（Ⅱ）（i）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则D（-x₁，-y₁），由此能求出k₁k₂的值．
（ii）由k₁k₂=-$\frac{3}{4}$，得y₁y₂=-$\frac{3}{4}{x}_{1}{x}_{2}$，从而${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=4$，${{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=3，由此能求出OB²+OC² 的值．

解答 解：（1）设椭圆C的右焦点F₂（c，0），则c²=a²-b²（c＞0），
由题意，以椭圆C的右焦点为圆心，以椭圆的长半 轴长为半径的圆的方程为（x-c）²+y²=a²，
∴圆心到直线$x+y+2\sqrt{2}-1=0$的距离 
d=$\frac{|c+2\sqrt{2}-1|}{\sqrt{2}}$=a，（*），
∵椭圆C的两焦点与短轴的一个端点的连线构成等边三角形，
∴b=$\sqrt{3}c$，a=2c，代入（*）式得c=1，b=$\sqrt{3}$，a=2，
故所求椭圆方程为$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$．
（Ⅱ）（i）设B（x₁，y₁），C（x₂，y₂），则D（-x₁，-y₁），
∴k₁k₂=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}•\frac{{y}_{2}+{y}_{1}}{{x}_{2}+{x}_{1}}$=$\frac{{{y}_{2}}^{2}-{{y}_{1}}^{2}}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=$\frac{\frac{3}{4}（4-{{x}_{2}}^{2}）-\frac{3}{4}（4-{{x}_{1}}^{2}）}{{{x}_{2}}^{2}-{{x}_{1}}^{2}}$=-$\frac{3}{4}$．
（ii）由（i）知，k₁k₂=-$\frac{3}{4}$，故y₁y₂=-$\frac{3}{4}{x}_{1}{x}_{2}$． 
∴$\frac{9}{16}{{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}={{y}_{1}}^{2}{{y}_{2}}^{2}$=$\frac{3}{4}（4-{{x}_{2}}^{2}）-\frac{3}{4}（4-{{x}_{1}}^{2}）$，
即${{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}$=16-4（${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}$）+${{x}_{1}}^{2}{{x}_{2}}^{2}$，∴${{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}=4$． 
又2=（$\frac{{{x}_{1}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}}{3}$）+（$\frac{{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{2}}^{2}}{3}$）=$\frac{{{x}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}}{4}$，故${{y}_{1}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=3． 
∴OB²+OC²=${{x}_{1}}^{2}+{{y}_{1}}^{2}+{{x}_{2}}^{2}+{{y}_{2}}^{2}$=7．

点评 本题考查方程的求法，考查两直线的斜率之积的求法，考查两线段的平方和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．