Question

如图，单位正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，下列说法错误的是

1. A.
   BD₁⊥B₁C
2. B.
   若，则PE∥A₁B
3. C.
   若点B₁、A、D、C在球心为O的球面上，则点A、C在该球面上的球面距离为
4. D.
   若，则A₁P、BE、AD三线共点

Answer 1

C
分析：以D点为坐标原点，DA、DC、DD₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用直线所在向量的数量积判定两直线是否垂直，是否平行，利用余弦定理求圆心角，以及利用两平面的公共点肯定在交线上进行判定即可．
解答：以D点为坐标原点，DA、DC、DD₁分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系
则A₁（1，0，1），D₁（0，0，1），B（1，1，0），B₁（1，1，1），C（0，1，0），
选项A：=（-1，-1，1），=（-1，0，-1），则•=0∴BD₁⊥B₁C
选项B：若，则P（0，0，），E（0，，0）
∴=（0，，-），=（0，1，-1）则=-∴PE∥A₁B
选项C：若点B₁、A、D、C在球心为O的球面上，则该球为正方体的外接球，OA=OC=，AC=；
则AC所对的圆心角为π-arccos，∴点A、C在该球面上的球面距离为，则选项C不正确；
选项D：由选项B可知PE∥A₁B，且PE=A₁B，∴A₁P、BE共面且相交，假设交点为Q，Q∈A₁P，A₁P?面A₁PD，Q∈BE，BE?面BED
∴Q∈面A₁PD，Q∈?面BED，而面A₁PD∩面BED=AD∴Q∈AD即A₁P、BE、AD三线共点于Q．
故选C．
点评：本题主要考查了利用空间向量判定空间两直线平行、垂直，以及向量的线性运算性质及几何意义，同时考查了分析问题的能力，属于中档题．