Question

2．定积分$\int_0^1{（\sqrt{1-{x^2}}}+{x^2}）$dx=（　　）

• A． $\frac{π}{2}+\frac{1}{3}$
• B． $\frac{π}{2}-\frac{1}{3}$
• C． $\frac{π}{4}+\frac{1}{3}$
• D． $\frac{π}{4}-\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 将定积分运算性质转化成$\int_0^1{（\sqrt{1-{x^2}}}+{x^2}）$dx=${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx+${∫}_{0}^{1}$x²dx，利用定积分的性质求得${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{4}$，${∫}_{0}^{1}$x²dx=$\frac{1}{3}$x³${丨}_{0}^{1}$=$\frac{1}{3}$，即可得到答案．

解答 解：$\int_0^1{（\sqrt{1-{x^2}}}+{x^2}）$dx=${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx+${∫}_{0}^{1}$x²dx，
由定积分的几何意义，${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx为以（0，0）为圆心，以1为半径的圆的面积的$\frac{1}{4}$，
∴${∫}_{0}^{1}$$\sqrt{1-{x}^{2}}$dx=$\frac{π}{4}$，
${∫}_{0}^{1}$x²dx=$\frac{1}{3}$x³${丨}_{0}^{1}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\int_0^1{（\sqrt{1-{x^2}}}+{x^2}）$dx=$\frac{π}{4}$+$\frac{1}{3}$，
故答案选：C．

点评 本题考查定积分的运算性质，定积分的几何意义，属于基础题．