Question

4．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+t}\\{y=1+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数），以原点为极点，以x轴为正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C₂的极坐标方程为ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}}$．
（1）求曲线C₁与曲线C₂的直角坐标方程；
（2）设点M（$\sqrt{3}$，1），曲线C₁与曲线C₂交于A，B两点，求|MA|•|MB|的值．

Answer 1

分析 （1）运用代入法，可得曲线C₁的直角坐标方程；由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，两边平方即可得到曲线C₂的直角坐标方程；
（2）求得曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{1}{2}m}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}m}\end{array}\right.$（m为参数），代入曲线C₂的直角坐标方程，运用韦达定理，即可得到所求值．

解答 解：（1）曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+t}\\{y=1+\sqrt{3}t}\end{array}\right.$（t为参数），
即为$\left\{\begin{array}{l}{t=x-\sqrt{3}}\\{\sqrt{3}t=y-1}\end{array}\right.$，两式相除，消去t，可得：
曲线C₁的直角坐标方程为y-1=$\sqrt{3}$（x-$\sqrt{3}$），
即为y=$\sqrt{3}$x-2；
曲线C₂的极坐标方程为ρ=$\frac{2}{\sqrt{1+3si{n}^{2}θ}}$．
即为ρ²+3ρ²sin²θ=4，
由x=ρcosθ，y=ρsinθ，x²+y²=ρ²，
可得曲线C₂的直角坐标方程为x²+y²+3y²=4，
即为$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1；
（2）设曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{3}+\frac{1}{2}m}\\{y=1+\frac{\sqrt{3}}{2}m}\end{array}\right.$（m为参数），
代入曲线C₂的直角坐标方程$\frac{{x}^{2}}{4}$+y²=1，可得：
（$\sqrt{3}$+$\frac{1}{2}$m）²+4（1+$\frac{\sqrt{3}}{2}$m）²=4，
化为$\frac{13}{4}$m²+5$\sqrt{3}$m+3=0，
即有|MA|•|MB|=|m₁|•|m₂|=|m₁•m₂|=$\frac{12}{13}$．

点评 本题考查极坐标方程和直角坐标方程的互化，以及参数方程和直角坐标方程的互化，注意运用代入法和极坐标和直角坐标的关系，同时考查直线参数方程的运用，注意参数的几何意义，属于中档题和易错题．